試験本番で確実に得点を積み上げるためには、機械的な暗記に頼らず、以下の4段階の解法フローを体に染み込ませておく必要があります。
【ステップ1：標準形への整理と $n$ の特定】
与えられた方程式を展開・整理し、$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$ の形に持ち込みます。ここで右辺の累乗数 $n$ の値を正しく見極めます。
【ステップ2：両辺を $y^n$ で割り、変数を変換する】
両辺に $y^{-n}$ を掛けた後、$z = y^{1-n}$ と設定します。同時に、$\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$ を導出します。
【ステップ3：$z$ についての1階線形微分方程式を解く】
方程式は次のように変形されます。
$\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$
この線形方程式に対し、積分因子法または定数変化法を適用して $z$ の一般解を求めます。積分因子 $I(x) = e^{\int (1-n)P(x)dx}$ を用いると、解の公式から直接的に $z$ を導出可能です。
【ステップ4：元の変数 $y$ に戻し、特殊解を確認する】
求まった $z(x)$ に対し、$z = y^{1-n}$ を代入して $y$ について解き直すことで、ベルヌーイの微分方程式の一般解が完成します。最後に、$y = 0$ が方程式を満たすかどうかの確認を忘れずに行います。
