語呂合わせは素早いアウトプットに最適ですが、難関大の入試問題や定期試験では加法定理の証明や導出そのものが問われるケースが存在します。暗記のバックボーンとして論理的な道筋を知っておくことは、記憶の脱落を防ぐ強力な保険となります。
加法定理の最も標準的な証明方法は、単位円上の2点間の距離またはベクトルの内積を利用する手法です。単位円上に角度 $\alpha$ および $-\beta$（または $\beta$）をとった2つの動点 $P(\cos\alpha, \sin\alpha)$, $Q(\cos\beta, \sin\beta)$ を配置し、2点間の距離の2乗を2通りの方法（三平方の定理の座標計算と、余弦定理）で表して等置することで、まず $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ が導かれます。
ひとたび1つの公式が証明できれば、角度の置き換え（$\beta$ を $-\beta$ に変える、または $\alpha$ を $\frac{\pi}{2} - \alpha$ に変える）によってサインの式が得られ、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の関係からタンジェントの式も全て芋づる式に導出できます。「最悪の場合でも自分で作り出せる」という自信が、本番の心理的余裕を生み出します。
